论数学猜想的学与教

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作者:无, 字数:11762

  【关键词】数学猜想;学习猜想;教学猜想;运算律
  笔者有幸多次参与有关“运算律”的各级各类教学观摩活动,发现有一个问题必须解决,否则,它会影响我们对一些基本问题的看法,从而影响学生对相应数学知识的理解与把握,甚至更多。这个问题就是,究竟什么是数学猜想?
  其实,这个问题的真实教学情境就是,在教授“加法交换律”或“乘法交换律”之后,教师一般都会引导学生提出所谓的关于“减法交换律”或“除法交换律”的猜想,然后通过学生的反例加以否定,从而得出“ 减法和除法没有交换律”的结论。
  一、什么是数学猜想
  一般而言,科学猜想是指针对“研究问题”,基于大量的“正面实例”,以及“得到证实”的学科知识或一般原理,与此同时还没有“反面实例”,所提出的有关“正面实例”的“有待证实”的一般性结论。
  而数学猜想则是指针对“数学问题”,基于联想,通过(不完全或因果)归纳或类比,提出“有待证明”的一般性结论的思维过程。在这个思维过程中,联想是前提,试验与观察是基础,归纳与类比则是其提升(对试验和观察结果的跃迁),其结果便是“有待证明”的猜想(一般性结论)。之所以称这“一般性结论”为猜想,就是因为它“有待证实”或“有待证明”,而且提出“猜想”时还没有出现“反面实例”或“反例”。因此,数学猜想的提出就不能有“反例”的出现,而这也就要求猜想提出者在提出猜想之前,要有主观上努力寻求“反例”的试验和观察过程,而且没有收获任何“反例”。在提出猜想时,如果存在“反例”,就不应该也不能够提出相应的所谓“数学猜想”。否则,就是“随想”。
  上述“真实的数学教学情境”主要存在以下两个方面的问题:一是明知有“反例”(譬如,学生在学习减法之初便已经知道“2-3 是行不通的”这类减法问题;学习除法时也已经晓得“4÷2与2÷4是不可能相等的”这类除法问题),却硬要“引导”学生提出所谓的“减法交换律”或“除法交换律”的猜想;二是在教授“加法交换律”或“乘法交换律”时,缺少一个“引导学生主观上去寻求‘反例’而不得的学习、思维的活动过程”。
  那么,我们应该如何来引导学生学习数学猜想呢?又应该怎样来教授数学猜想呢?下面,笔者仍然以“运算律”为例,来试着解决这两个问题。
  二、如何学习数学猜想
  就我国课程标准意义下的小学数学教材而言,“运算律”的学习内容一般都安排在四年级第二学期,其主要内容就是加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法(对加法的)分配律以及运算律的综合或灵活运用或应用。在具体的学习或教学安排上有这样两种处理方式:一是先学习或教学加法运算律(包括交换律和结合律),然后学习或教学乘法运算律(包括交换律和结合律),最后学习或教学乘法(对加法的)分配律;二是先学习或教学加法和乘法的交换律,然后学习或教学加法和乘法的结合律,最后学习或教学乘法(对加法的)分配律。
  这两种处理方式各有利弊,应视具体教学情境加以选择、采用。第一种处理方式的优点是归类清晰——加法运算律、乘法运算律以及分配律(加法和乘法“联合”的运算律)。第二种处理方式的优点是依据“运算律”本身的特点对其进行分类——交换律、结合律以及分配律,同时还蕴含着“加法与乘法的类比”,但不够彻底。因为没有分配律上的“加法与乘法的类比”。尽管分配律上的这一类比不成立,但应该可以引导学生去思考这一问题,从“反面”来体会类比的方法论意义,即类比是“发现的逻辑”而非“证明的逻辑”。有待证明的发现可能是不正确的,有待确证;已经证明的发现则是正确无疑的,无须再证。
  因此,无论选择、采用哪种处理方式,甚至是先后使用或者混合使用两种方式,我们都应以学生已有的算術四则运算经验为前提,激发学生的联想,引导他们充分展开对已有经验的分析与反思(都是如此吗?没有反例吗?确实都是如此,没有发现反例),并运用归纳或类比来提升其分析与反思的结果,从而使他们达成对分析与反思结果的跃迁,提出“运算律”的猜想。尽管对学生而言,提出的“运算律”都有待证明,但这一过程意义非凡。其实,对教师而言,可能也是大致如此,但这已无关宏旨!
  三、怎样教学数学猜想
  基于上述笔者结合“运算律”对数学猜想及其学习的分析与思考,笔者认为,“运算律”的教学可以从以下几个方面来构想或设计。
  1.要有联想的前提:必要的积累。
  如果没有任何相关的知识经验积累,也没有任何想象力,那么,所谓的联想是不会发生在任何人身上的(哪怕那个人是天才也无济于事,或者说只能算是一个随想而已)。事实上,在学习运算律之前,学生已经积累了大量的算术四则运算经验(若从小学一年级算起,至少有三年半的时间;若从幼儿园算起,就更长久了)。不仅如此,学生还学习了若干算术四则运算的法则(即运算法则,有的比较明确,有的比较隐晦)。更为重要的是,在学习算术四则运算及其运算法则时,尽管没有点明、道破,但学生已经在大量地运用运算律了。
  其实,这是我们引导学生学习运算律时极佳的、学生已有的知识经验积累,不可不用,更不能无视。这里的关键问题是:应该如何运用?怎样运用才能用得更好?如何运用才能更有利于学生数学思维的培养和数学核心素养的提升?这就需要教师想方设法来激发学生的想象力,促动其联想机制,并引导其分析、反思他们所拥有的丰富的算术四则运算经验。而若要着眼于学生数学思维的培养和数学核心素养的提升,还必须把这五个“运算律”作为一个整体来加以考察。
  2.要有试验、观察的基础:充分的过程。
  试验和观察过程的充分展开是指针对所面临的数学问题(譬如,如何总结、概括出算术四则运算的“运算律”?),我们要充分对其进行试验与观察(此前,尽管学生已有大量算术四则运算的知识经验,但没有针对“运算律”的试验与观察),并在此基础上不断进行总结和概括。
  譬如,在指导学生学习(加法和乘法的)交换律时,教师可以引导学生思考这样一些问题:(1)如果我们班每一位同学都任意取两个数,并把它们加(或乘)起来,那么,针对大家所取的那两个数,每个人最多能写出几个不同的算式?(2)如果不计算(当然,也不需要心算),你知道运算结果是一样的或相等的吗?(3)如果把全班同学所列举的所有情况都“放在一起”,你能总结、概括出什么样的一般性结论呢?(其实,我们早就已经在运用交换律了)(4)为什么?(加法或乘法的意义)(可以视教学的具体情况来确定先提出第三个问题还是第四个问题,第三个问题意在指向不完全归纳;第四个问题则意在指向因果归纳,可能还有类比——加法和乘法的类比)   类似地,在指导学生学习(加法和乘法的)结合律时,教师可以引导学生思考这样一些问题:(1)如果我们班每一位同学都任意取三个数,并把它们加(或乘)起来,那么,针对大家所取的那三个数,每个人最多能写出几个不同的算式?(2)如果不计算(当然,也不需要心算),你知道运算结果是一样的或相等的吗?(3)如果把全班同学所列举的所有情况都“放在一起”,你能总结、概括出什么样的一般性结论呢?(其实,我们早就已经在运用交换律和结合律的“导出规律”了,为什么我们不把这“导出规律”也赋予一个“专名”呢?其实,这体现了数学的简洁之美,因为这里的“导出规律”内含了交换律和结合律,所以,我们需要把交换律从中请出去,而只留下结合律)(4)为什么?(可以视教学的具体情况来确定先提出第三个问题还是第四个问题,第三个问题意在指向不完全归纳;第四个问题则意在指向因果归纳,可能还有类比——加法和乘法的类比)
  而在指导学生学习(乘法对加法的)分配律时,我们可以引导学生思考这样一系列问题:(1)如何把“两位数乘一位数”“三位数乘一位数”等的竖式计算转换为横式计算呢?(2)如何把“两位数乘两位数”“三位数乘两位数”等的竖式计算转换为横式计算呢?(3)如何把“任何”乘法竖式计算转化为横式计算呢?(4)你能总结、概括出一般性的结论吗?(其实,我们早就已经在运用分配律了)(5)为什么?(可以视教学的具体情况来确定先提出第四个问题还是第五个问题,第四个问题意在指向不完全归纳;第五个问题则意在指向因果归纳,可能还有类比——加法和乘法的类比,尽管这个类比在此处不成立,但那又是为什么呢?)
  3.要有归纳或类比的运用:必要的跃迁
  當我们在总结、概括一般性结论时,其实就已经在运用归纳或类比了。如果所总结、概括出的“一般性结论”只局限于我们所列举的大量实例(其实,这里只有完全归纳,或者“对应类比”),那么,我们就必须再次运用归纳或类比,把这“一般性结论”推广到更为一般的情况。因此,这里就需要有一个“自我否定的再否定”的思维活动过程,即继续追问:有反例吗?再试验,再观察,反复多次,以致求反例而不得。所以,我们(此时或暂时)就可以提出诸“运算律”的猜想了。
  即便我们总结、概括出的“一般性结论”已经超越了我们所列举的大量实例,也还是需要有一个“求反例而不得”的“自我否定的再否定”的思维活动过程。这就是“科学的质疑精神”在数学猜想中具体而生动的体现。
  此外,在“运算律”的教学中,教师还应在自己先弄明白“运算律和运算法则之间的关系”的基础上,引导学生思考两者之间的关系,以进一步理解运算的意义、运算的规律(即运算律)和运算的法则(即运算法则)三者之间的内在关系(譬如,就逻辑关系而言,这三者之间是什么蕴涵顺序?就学习顺序而言,这三者之间又是什么前后关系?这种逻辑关系和学习顺序是否一致?无论一致与否,这种学习顺序安排背后的道理是什么?),培养其数学的思维方式,进而逐步提升教师和学生的数学核心素养。

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